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高铁振动问题中一类二次特征值问题结构开发的数值方法
| 论文题名： | 高铁振动问题中一类二次特征值问题结构开发的数值方法 |
| 关键词： | 高速列车;振动问题;二次特征值问题;数值计算 |
| 摘要： | 二次特征值问题在科学和工程的许多领域有丰富的应用，如汽车制动系统中的有限元系统，地震工程，保守结构系统和非保守结构系统分析，以及最小二乘问题等. 在高速列车的振动问题研究中，我们会遇到一类非常特殊的回文对称二次特征值问题(λ2AT+λQ+A)z=0， 其中A，Q∈Cn×n，QT=Q，Q为块三对角阵且为块Toeplitz矩阵，矩阵A仅在右上角有一个非零块. 经过简单的研究我们知道，这个二次特征值问题的解有两个特点: 一.除了0和∞特征值，其余特征值是成对出现的，即如果λ是它的特征值，那么1/λ也是它的特征值. 二.大多数特征值是0和∞; 对这种有特殊结构和稀疏的回文二次特征值问题，如果使用传统的线性化方法.那么，在线性化过程中，我们需要先把二次特征值问题转化为一个两倍大的线性特征值问题，然后设法消除0和∞特征值.然而，在消去过程中，我们将会遇到一些十分病态的矩阵的求逆问题，使这个消除过程产生非常大的误差;由于Q和A本身都是阶数非常大的矩阵，这个过程中需要的计算量也是相当的大;此外，对于高速列车的振动问题这种有特殊结构和稀疏的回文二次特征值问题而言，特征值以λ和1/λ形式成对出现的性质也会遭到破坏. 为了解决这些问题，一种称为预解的方法(solvent approach)，可以在保持原问题解的结构性的前提下，将原问题转化为一个先求预解方程X+ATX-1A=Q稳定解（特征值小于1的解），然后求解一个线性特征值问题的问题. 为了求预解方程X+ATX-1A=Q稳定解，目前较好的办法是保结构加倍算法（doubling算法）.但由于系数矩阵Q和A阶数非常大，Q非常特殊，并且A很稀疏，因此，如何充分利用这些特殊结构设计或改进已有算法，是数值解这个特殊的回文特征值问题的最大关键. 本文的主要贡献是，通过分析Q和A的稀疏性和特殊结构，我们首先发现:预解方程X+ATX-1A=Q的解X和右边的Q仅相差右下角一小块.这样，我们可以先将求大型非线性方程X+ATX-1A=Q的稳定解的问题转化为求一个小型（阶数很低）的方程Y+BTY-1B=T的稳定解的问题，然后同样利用保结构的doubling算法求出小型方程的稳定解Y，最后得到原二次特征值问题的非零特征值.我们给出了算法的收敛性分析，并用数值例子对我们的算法进行了验证.数值实验表明:我们的算法在每次迭代中花费的计算量更少，总体计算时间更短.本文还最后讨论此类二次特征值问题的向后误差，给出了向后误差的表达式，并且证明了矩阵A的误差仅存在于它的非零块上. |
| 作者： | 袁飞 |
| 专业： | 计算数学 |
| 导师： | 卢琳璋 |
| 授予学位： | 博士 |
| 授予学位单位： | 厦门大学 |
| 学位年度： | 2015 |
| 正文语种： | 中文 |
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